ウェブサイトを管理するのにGoogle Search Consoleは非常に優れたツールです。ぜひ利用したいのですが、ドメインの認証に少してこずることがあります。
以前はファイルをサーバーにアップロードして認証していました（その方法もあります）が、txtレコードで認証が基本になっています。説明に「GoDaddyなどのような・・・」とあるので、お名前.comやムームードメインのようなレジストラかと思いきや、実はサーバーに設定するのです。
GoDaddy, DNSというキーワードから勘違いしてしまったのですが、レジストラではなく、サーバーに設定します。設定方法はサーバーによって異なるので問い合せをした方が間違いありません。
サーバーによってはスパムメール防止のためのコードがかからていることもありますので、それは削除しないようにしないといけません。しかしながら、そのコードがあると認証されないということもあります。その場合はtxtレコードではなく、他の方法で認証します。詳しくはsearch consoleでtxt以外の方法で認証の項目を読んでください。
どうやらsearch consoleは一度認証されれば所有権は確認されるようなので、他のソースコードが書いてある場合でも、一度、元のソースコードをどこかによけておき、認証させてから元に戻すという方法もあります。
私はこの方法を使って今のことろうまくいっています。今のことろと言ったのは、もしも定期的に確認されたらエラーになるからです。あくまでも自己責任で行ってください。