どんな病気かにもよりますが、いろいろな表現ができそうです。
get sick
become ill
catch a disease
suffer from a sickness
このあたりまでは、なんとなく聞き覚えがあるかもしれません。
contract TB
contract malaria
はどうでしょうか？それぞれ「結核にかかる」「マラリアにかかる」という意味です。
ついでにdevelopも覚えておきましょう。
develop a cancer：がんになる（悪化する）
develop a bad cold：ひどい風邪をひく（こじらせた）